Come si chiama l'insieme di tutti i numeri?

Quando parliamo di "insieme di tutti i numeri", possiamo intendere diverse cose a seconda del contesto. Inizialmente, si potrebbe pensare ai numeri che usiamo tutti i giorni per contare o fare operazioni semplici, come sommare o sottrarre. Questi numeri fanno parte di insiemi che i matematici hanno definito molto chiaramente. Partiamo dai numeri naturali $ \mathbb{N} $ (0, 1, 2, 3...), che sono i primi numeri che impariamo da piccoli, utili per contare oggetti.

$$ \mathbb{N} = \{ 0,1,2,3, ... \} $$

Se includiamo anche i numeri negativi, entriamo nel mondo dei numeri interi $ \mathbb{Z} $ (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). I numeri intero includono al loro interno anche i numeri naturali.

$$ \mathbb{Z} \subset \mathbb{N} $$

Per operazioni che richiedono divisioni che non danno un numero intero come risultato, usiamo i numeri razionali $ \mathbb{Q} $. Questi sono numeri che possono essere espressi come frazioni, dove sia il numeratore che il denominatore sono interi (il denominatore non può essere zero). I numeri interi sono un sottoinsieme dei numeri razionali.

$$ \mathbb{Q} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N} $$

Oltre a questi, ci sono i numeri reali $ \mathbb{R} $, che includono tutti i razionali più i numeri irrazionali, cioè quei numeri che non possono essere scritti come una semplice frazione (pensa alla radice quadrata di 2 o al numero pi greco). I numeri reali corrispondono agli infiniti punti di una retta. I numeri razionali sono un sottoinsieme dei numeri reali.

$$ \mathbb{R} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N} $$

Per finire, se volessimo coprire davvero "tutti" i numeri nel senso più ampio del termine, dovremmo parlare anche dei numeri complessi. Un numero complesso ha una parte reale e una parte immaginaria (questa ultima moltiplicata per \(i\), l'unità immaginaria che, elevata al quadrato, dà -1). I numeri complessi corrispondono agli infiniti punti di un piano e includono al loro interno anche i numeri reali.

$$ \mathbb{C} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N} $$

I numeri complessi sono fondamentali in molti campi scientifici perché estendono le possibilità di soluzione di equazioni e sistemi oltre i limiti dei numeri reali. Quindi, se con "insieme di tutti i numeri" intendiamo il più ampio possibile, parliamo principalmente dei numeri complessi, che includono praticamente tutto ciò che normalmente considereremmo un "numero" nei contesti più vari della matematica e delle scienze.  Tuttavia, i numeri complessi non sono l'insieme di tutti i numeri perché oltre ai numeri complessi, esistono insiemi numerici che estendono ancora di più il concetto di numero, abbracciando strutture più complesse e utili in ambiti specifici della matematica e delle scienze applicate:

1. Quaternioni: I quaternioni sono una estensione dei numeri complessi. Mentre un numero complesso ha una parte reale e una parte immaginaria, un quaternione ha una parte reale e tre parti immaginarie. La formula generale per un quaternione è \(a + bi + cj + dk\), dove \(i\), \(j\), e \(k\) sono le unità immaginarie dei quaternioni. Queste unità seguono regole di moltiplicazione specifiche che non sono commutative—cioè, l'ordine in cui moltiplichi i quaternioni importa. I quaternioni sono molto utili in computer grafica e robotica per gestire rotazioni e orientamenti nello spazio tridimensionale.
2. Ottetti (o Ottioni): Ancora più complessi dei quaternioni, gli ottetti aggiungono ulteriori dimensioni. Hanno una parte reale e sette parti immaginarie. Come i quaternioni, anche gli ottetti non rispettano la commutatività, e perdono anche l'associatività nella moltiplicazione, il che li rende matematicamente più complicati da gestire ma interessanti dal punto di vista teorico.
3. Numeri surreali: Introdotti da John Horton Conway, i numeri surreali formano un insieme che include non solo tutti i numeri reali e tutti i numeri ordinali transifiniti (usati nella teoria degli insiemi per descrivere grandezze di infiniti), ma anche molti altri numeri che non rientrano in nessuna di queste categorie. I numeri surreali possono essere infinitamente grandi o infinitamente piccoli, e il loro studio porta a interessanti applicazioni in teoria dei giochi e in altre aree della matematica.
4. Numeri iperreali: Usati principalmente in analisi non standard, gli iperreali includono i numeri reali insieme a numeri infinitamente piccoli e infinitamente grandi. Questi numeri permettono una trattazione rigorosa del calcolo infinitesimale, fornendo un approccio alternativo al limite classico.

Questi insiemi di numeri vanno ben oltre la quotidiana esperienza con i numeri e aprono porte a nuove e affascinanti aree della matematica, offrendo strumenti potenti per l'analisi, la fisica e altre scienze. Ogni insieme ha proprietà uniche che risolvono specifici problemi teorici o applicativi, mostrando quanto possa essere vasto e sorprendente l'universo dei numeri.

Nota. se ragioniamo in un ottica multidimensionale, probabilmente non riusciremmo a trovare un insieme in grado di comprendere tutti i numeri. Pertanto, si può dire che solo l'insieme di tutti gli insiemi (insieme universo) comprende tutti i numeri oltre a tutto il resto.