Qual è la differenza tra corpo e campo in algebra astratta?

In algebra astratta, la differenza tra corpo e campo è sottile e dipende dalla terminologia utilizzata da diversi autori:

1. Corpo: In una definizione più generale, un corpo è una struttura algebrica che soddisfa le seguenti proprietà:

   • È un anello unitario.
   • Ogni elemento non nullo ha un inverso rispetto alla moltiplicazione (il gruppo moltiplicativo formato dagli elementi non nulli è invertibile).
   • La moltiplicazione può o non può essere commutativa. Quindi, un corpo può essere non commutativo, come accade per i quaternioni.

2. Campo: Quando si aggiunge la proprietà di commutatività della moltiplicazione, il corpo diventa un campo. In altre parole, un campo è un corpo commutativo:

   • È un corpo in cui la moltiplicazione è commutativa.
   • Esempi classici di campi sono l'insieme dei numeri razionali (Q), reali (R) e complessi (C).

Quindi, ogni campo è un corpo ma non ogni corpo è un campo se la moltiplicazione non è commutativa.

Nota. In inglese, il termine corpo si traduce come field se si riferisce a una struttura algebrica commutativa, dove ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo. Quando, invece, si riferisce a un corpo non commutativo,  dove la moltiplicazione non è commutativa, si usa il termine division ring o skew field.

Un esempio di corpo che non è un campo?

Un esempio classico di corpo che non è un campo è l'insieme dei quaternioni \( \mathbb{H} \).

I quaternioni sono una struttura algebrica in cui ogni elemento non nullo è invertibile rispetto alla moltiplicazione, quindi soddisfano la definizione di corpo.

Tuttavia, la moltiplicazione tra quaternioni non è commutativa, il che significa che non soddisfano la definizione di campo che richiede la commutatività della moltiplicazione.

Quindi \( \mathbb{H} \) è un corpo perché ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo.

Ma \( \mathbb{H} \) non è un campo perché la moltiplicazione non è commutativa.

E così via.