Cosa significa funzione suriettiva
Una funzione suriettiva è una funzione \( f: A \to B \) tale che ogni elemento dell'insieme di arrivo \( B \) è immagine di almeno un elemento dell'insieme di partenza \( A \).
In parole semplici: non c'è nemmeno un elemento in \( B \) che rimane orfano, senza qualcuno che lo punti dall'insieme di partenza. Tutti gli elementi del codominio sono raggiunti da almeno un valore del dominio.
Quindi, per ogni \( y \in B \), esiste almeno un \( x \in A \) tale che \( f(x) = y \).
Esempio
Ad esempio, la funzione $ f(x)=x^3 $ è suriettiva.
Perché? Perché qualsiasi numero reale io scelga, posso trovare un valore di x tale che f(x) ti dà esattamente quel numero.
Tipo, scelgo f(x) = 8? Bene, x = 2 mi restituisce f(2) = 8.
$$ f(2)=2^3=8 $$
Voglio un numero negativo f(x)=-8? Bene, f(-2) = -8.
$$ f(-2)=(-2)^3=-8 $$
Ogni valore nel codominio \( \mathbb{R} \) è coperto.
La suriettività dipende dall'insieme che scelgo come codominio
Per esempio, la funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \( f(x) = x^2 \) non è suriettiva se considero come codominio l'insieme dei numeri reali \( \mathbb{R} \), perché i numeri negativi non appartengono all'immagine della funzione $ f $.
$$ f(-2)=4 \\ f(-1)=1 \\ f(0)=0 \\ f(1)=1 \\ f(2)=4 \\ \vdots $$
Tuttavia, se cambio il codominio e scelgo l'insieme dei numeri reali non negativi \( [0, +\infty) \), la funzione diventa suriettiva.
Questo perché ogni elemento di \( [0, +\infty) \) ha un corrispondente valore in \( \mathbb{R} \) sia positivo che negativo il cui quadrato dà esattamente quel valore.
In questo caso, l'immagine della funzione è esattamente uguale al codominio, quindi \( f \) è suriettiva rispetto a questo nuovo insieme.
In sintesi, una funzione può essere suriettiva rispetto a un certo codominio e non suriettiva rispetto a un altro.
Nota. La suriettività si riferisce al confronto tra il codominio e l'immagine della funzione. Se l'immagine è esattamente uguale al codominio, la funzione è suriettiva. Se il codominio è più ampio dell'immagine (ad esempio, contiene valori che non vengono raggiunti), la funzione non è suriettiva.
E così via.
